排列组合的所有公式和理解？

排列组合的公式是排列的定义及其计算公式：从n个不同元素中，任取m(m≤n，m与n均为自然数，下同）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n，m）表示。A(n，m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n！/(n-m)！ 此外规定0！=1(n！表示n(n-1)(n-2)...1，也就是6！=6x5x4x3x2x1组合的定义及其计算公式：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C(n，m) 表示。C(n，m)=A(n，m)/m！；C(n，m)=C(n，n-m）。（n≥m)其他排列与组合公式 从n个元素中取出m个元素的循环排列数=A(n，m)/m！=n！/m！(n-m)！. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1，n2，

...nk

这n个元素的全排列数为 n！/(n1！×n2！×...×nk！). k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为C(m+k-1，m）。

排列组合的计算方法，别只是个公式，举个例子写的具体点？

标准的排列组合

先看一个例子 (1)：

三个城市 A，B，C，从 A 到 B 有三条路 a₁， a₂， a₃ ，从 B 到 C 有两条路 b₁， b₂，问 从 A 到 C 有多少种走法？

解：

要 从 A 到 C 就 必须选择一条 A 到 B 的路 a 和 一条 B 到 C 的路 b，然后连成 A 到 C 的路 ab。

a 可以是 a₁， a₂， a₃ 有3种选法，b 可以是 b₁， b₂ 有3种选法，于是根据日常的经验，ab 的可能有：

所有 ab 总共有 3 × 2 = 6 种可能。

这个例子就是 乘法法则：

若具有性质 a 的事件有 m 个，具有性质 b 的事件有 n 个，则 同时具有 性质 a 和 b 的事件有 m × n 个。

因为，

令 a 的 m 个事件为 a₁， a₂， ...， a_m，b 的 n 个事件为 b₁， b₂， ...， b_m，则根据日常的经验，ab 的可能有：

乘法法则，还可以从 两项 扩展到 任意有限多项：

若具有性质 a₁， a₂， a₃， ...， a_n的事件分别有 m₁， m₂， m₃， ...， m_n个，则 同时具有 性质 a₁， a₂， a₃， ...， a_n 的事件有 m₁ × m₂ × m₃ × ... × m_n 个。

因为，

然后利用 两项的乘法法则，就得到：

再看一个例子 (2)：

总共有三个球 ①②③，从中挑选出两个排成一列，问有多少种挑选方案？

解：

挑出两个排成一列，分两步，

先从三个球 中任意 挑出一个球 a 放在序列的第一位；

再从挑剩下的 二个球 中中任意 挑出一个球 a 放在序列的第二位；

这样就组成了 ab 的序列。构建 ab 序列的过程 和 例子 (1) 组成路线的过程 类似，因此 也 符合乘法法则。因为 a 是 3 选 1 有 3 种可能，b 是 2 选 1 有 2 种可能，所以 构建 ab 序列 有 3 × 2 = 6 种可能，具体如下：

例子 (2) 就是 从 3 中取出 2 的排列，更一般地定义为：

从 n 个元素 中取出 m(≤ n) 个元素 排成一列，称为 从 m 中取出 n 的 排列，排列的方案个数称为排列数，记为 P(n， m)。

从 m 中取出 n 的 排列的构建过程如下：

根据 乘法法则，有：

P(n， m) = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)

而：

n！ = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)(n-m)(n-m-1)...1

(n-m)！ = (n-m)(n-m-1)...1

故，

P(n， m) = n！/(n-m)！

比较特别的是：

从 n 中取出 n 个 的排列，就是 对 n 个元素进行各种排列，称为 全排列 ，P(n， n) = n！/(n-n)！ = n！/0！ = n！；

从 n 中取出 0 个 的排列，称为 零排列 ，P(n， 0) = n！/(n-0)！ = n！/n！ = 1；

将 例子 (2)，改为(2")：

总共有三个球，从中挑选出两个不考虑顺序，问有多少种挑选方案？

解：

我们前面已经 计算出了序列 ab 的排列数 P(3， 2)，所谓不考虑顺序，也就是说，两个元素 a， b 的各种排列：ab， ba 算一种方案。

两个元素 a， b 的各种排列，就是 2 的全排列，即，P(2， 2)。于是 只需要 用 P(3， 2) 除以 P(2， 2)就是 答案了：

P(3， 2) /P(2， 2) = 3！/((3-1)！2！) = 3

例子 (2") 就是 从 3 中取出 2 的组合，更一般地定义为：

从 n 个元素 中取出 m(≤ n) 个元素 不考虑顺序，称为 从 m 中取出 n 的 组合，组合的方案个数称为组合数，记为 C(n， m)。

根据例子 (2") 中的分析，有：

C(n， m) = P(n， m) / P(m， m) = P(n， m) = n！/((n-m)！m！)

比较特别的：

从 n 中取出 n 个 的组合，C(n， n) = n！/((n-n)！n！) = n！/(0！n！) = n！/n！ = 1；

从 n 中取出 0 个 的组合，C(n， 0) = n！/((n-0)！0！) = n！/(n！0！) =n！/n！ = 1；

一些特殊的排列组合

考虑，问题 (3)：3 个人去饭店吃饭，围坐在一张圆桌前，问有多少种坐法？

围坐成圈不同于排成一列，这是一种新的排列方式，于是定义：

从 n 个元素 中取出 m 个元素 排成一圈，称为 圆周排列，将 圆周排列数 记为 Q(n， m)。

分析：

对于标准排列，可得到的序列：

若将序列排成一圈，

则显然，下面的 m 个排列只能算一种：

故，

Q(n， m) = P(n， m) / m

根据上面的分析结果，显然，问题(4) 的答案是 Q(3， 3) = P(3， 3) / 3 = 2，即，顺时针坐 和 逆时针左。

在排列组合中，默认挑选出来的m个元素是不能重复，但如果允许重复呢？

将 例子 (2")，改为：

总共有三个球，从中挑选出两个不考虑顺序，不过每次挑选时会将球的号码记录然后将球放回，问有多少种挑选方案？(2""-1)

有两个箱子，每个箱子里装着完全相同的三个球，从每个箱子里挑选1个不考虑顺序 ，问有多少种挑选方案？(2""-2)

(2""-1) 和 (2""-2) 本质是相同的，下面以 (2""-1) 为例。

分析：

首先，可以用穷举法。①②③ 中有放回的挑选2个球 组合，按照从小到大的排列顺序，有如下可能：

①①、②②、③③、①②、①③、②③

共有 6 种。

其次，可以将 有重复组合 转化为 无重复组合，方法如下：

对于任何一次的有重复组合结果，按照从小到大的排列：

a₁ ≤ a₂

让 原来三个小球中 号码比a₂ 大的小球的号码 都加 1， 然后 将 小球 a₂ 的号码 也加 1 并 添加到三个小球 中。

这样以来，就将 从 3 个小球中 有放回的挑选 2 个组合 变为 从 4 个小球 中 无放回的挑选 2个组合。

具体操作如下（黑底为修改过的球）：

将 ①②③ → ①① 改为 ①❷❸❹ → ①❷

将 ①②③ → ②② 改为 ①②❸❹ → ②❸

将 ①②③ → ③③ 改为 ①②③❹ → ③❹

将 ①②③ → ①② 改为 ①②❸❹ → ①❸

将 ①②③ → ①③ 改为 ①②③❹ → ①❹

将 ①②③ → ②③ 改为 ①②③❹ → ②❹

反过来，对于从 4 个小球 ①②③④，无放回的挑选两个的组合结果，从小到大的排列顺序排列：

a₁ < a₂

让 原来 4 个小球 中 号码大于 a₂ 的小球的号码 都减 1，然后将 a₂从4 个小球 中 去除，并将 a₂ 的号码也 减 1。

这样以来，就将 从 4 个小球中 无放回的挑选 2 个组合 变为 从 3 个小球 中 有放回的挑选 2个组合。

具体操作如下（黑底为修改过的球）：

将 ①②③④ → ①② 改为 ①❷❸ → ①❶

将 ①②③④ → ①③ 改为 ①②❸ → ①❷

将 ①②③④ → ①④ 改为 ①②③ → ①❸

将 ①②③④ → ②③ 改为 ①②❸→ ②❷

将 ①②③④ → ②④ 改为 ①②③ → ②❸

将 ①②③④ → ③④ 改为 ①②③ → ③❸

上面的事实说明：

3 取 2 有重复的组合数 ≡ 4取2 无重复的组合数，即，C(4， 2) = 6。

将 3 取 2 的情况 扩展到 n 取 m 有：

将 n 个数 取 m(≤ n) 个 有重复的组合 的结果，按照 从小到大的排列：

a₁ ≤ a₂ ≤ a₃ ≤... ≤ a_m (4)

对每个 aᵢ（i = 2， 3， ...， m） 重复一下操作：

让 被挑选数集 以及 (4) 中 所有比aᵢ 大的数都加 1， 然后 将aᵢ 加 1，并将aᵢ 添加到 被挑选数集 中取；

这样以来，就将 n 个数 取 m(≤ n) 个 有重复的组合变为 n+(m-1) 个数 取 m(≤ n) 个 无重复的组合。

反过来，对于n+(m-1) 个数 取 m(≤ n) 个 无重复的组合 的结果，按照从小到大的排列顺序排列：

a₁ < a₂ < a₃ <... < a_m (5)

对每个 aᵢ（i = 2， 3， ...， m） 重复一下操作：

让 被挑选数集 以及 (5) 中 所有比aᵢ 大的数都减 1， 然后，将 aᵢ 从 被挑选数集 中删除， 并将aᵢ 在 (5) 中也减 1；

这样以来，n+(m-1) 个数 取 m(≤ n) 个 无重复的组合 变为 就将 n 个数 取 m(≤ n) 个 有重复的组合 。

综上，就证明了：

n 个数 取 m(≤ n) 个 有重复的组合 ≡n+(m-1) 个数 取 m(≤ n) 个 无重复的组合

最终结果：

从 n 个元素 中取出 m 个元素，有重复组合 的组合数为：C(n+(m-1)， m)。

题目： 从 A = {1，2， ...， n} 个数 中取 m(≤ [n / 2]) 个，不相邻组合，即，不存在包括 i 和 i + 1 的组合，问组合数是多了？

分析：

这里使用类似 有重复组合 的思路，将 不相邻组合 转化为 等价 的 标准组合。方法如下：

对于 从 A 个数 中取 m 个 的不相邻组合 的结果，按照从小到大的顺序排列：

a₁ < a₂ < a₃ <... < a_m (6)

对每个 aᵢ（i = 2， 3， ...， m） 重复一下操作：

让 A 以及 (6) 中 所有大于 aᵢ 的数都减去 1，并将 aᵢ 从 A 删除，最后 在 (6) 中 让 aᵢ 减去 1。

这样以来，就将从 A 中取 m 个 的不相邻组合变为 从 A’ = {1， 2， ...， n - (m-1) } 中取 m 个 的标准组合。

反过来，对于 从 A’中取 m 个 的标准组合 的结果，按照从小到大的顺序排列：

a₁ < a₂ < a₃ <... < a_m (7)

对每个 aᵢ（i = 2， 3， ...， m） 重复一下操作：

让 A" 以及 (7) 中 所有大于 aᵢ 的数都加上 1，并将 aᵢ 也加上1 然后添加到 A" 中。

这样以来，就将 从 A’中取 m 个 的标准组合 变成 A 中取 m 个 的不相邻组合 。

综上，就证明了：

从 A= 中取 m 个 的不相邻组合 ≡从 A’中取 m 个 的标准组合

最终结果：

从 A = {1，2， ...， n} 个数 中取 m(≤ [n / 2]) 个，不相邻组合的组合数为：C(n－(m-1)， m)。

最后，除了以上介绍的这些较为基础的排列组合外，还有大量的排列组合问题存在，例如：

将 被选择集合 进行分类，比如：分为男女， 然后 对排列组合结果进行限制，比如：男女相等，男女相邻；

总之 排列组合的算法根据 具体问题不同而异，具体在进行解题时要发挥聪明才智，做到灵活多变，不要强行照搬套路。

由于篇幅有限，只能回答到这里了。

（本人数学水平同样有限，所以出错在所难免，非常欢迎各位老师批评指正。）